Les bases en 3D
L'espace 3D
Le repère orthonormé
Dans notre univers tridimensionnel tous les objets sont représenté en géométrie par un ensemble infini de points distincts.
Chaque point est doté de coordonnées de valeurs [x,y,z].
Celles-ci permettent de le localiser dans l'espace en se déplaçant de x, y et z unités dans trois directions distinctes
à partir d'un point de référence nommé "origine". Ces directions sont matérialisées par des axes orientés
et gradués sécants au point d'origine. L'ensemble formé des axes, de leur graduation et du point d'origine constitue
un repère cartésien. Il sera dit "orthonormé" si les axes sont orthogonaux et gradués selon une même échelle.
Le vecteur
Petit rappel trés bref sur le vecteur.
Le vecteur est un superbe outil mathématique qui représente un deplacement,
c-à-d qu'il posséde une direction et une longueur(amplitude).
Un vecteur peut nous permettre de représenter une vitesse,une force et voir meme un rayon de lumiere d'un certaine intensité.
Un vecteur posséde des coordonnées qui sont déterminées de la maniere suivantes:
Soit les points 
et 
alors les coordonnées d'un vecteur 
.
La norme d'un vecteur
La norme d'un vecteur u est par définition la longueur de déplacement(amplitude) du point A
au point B.
Elle se notée ||U||.
On la calcule de la manière suivante : 
formule qui découle du théoreme de Pythagore.
La somme de vecteurs
Le résultat de l'addition de deux vecteurs 
et 
est un vecteur 
L'opposé du vecteur u est un vecteur de meme longueur(amplitude) mais de direction opposée soit 
Normalisation d'un vecteur.
Normaliser un vecteur s'est de ramené la norme d'un vecteur a un.
Elle revient tout simplement à diviser chacune des coordonnées du vecteur par sa morne:
U[Xu / ||u||,Yu / ||u||].
Elle permet une simplification des calculs.
Le produit scalaire
Expression du produit scalaire
U.V = ||U|| * ||V|| * cos a
alors si U et V sont normalisés(|U| = |V| = 1), alors le produit scalaure U.V est le cosinus de l'angle a entre deux vecteurs:
U.V = cos a
Mais a quoi ca sert vous me direz mais tout simplement a calcul a peu de frais le cosinus d'un angle.
On détermine ainsi rapidement si une facette, dont la normale est U, est visible depuis
la direction V(celle de votre camera).
produit vectoriel
U = V ^ W
le produit vectoriel se calcule de la maniere suivante.
Ux = Vy * Wz - Wy * Vz;
Uy = Vz * Wx - Wz * Vx;
Uz = Vx * Wy - Wx * Vy;
le produit vectoriel permet notamment de calculer la normale à un polygone planaire à partir de 3 de ses sommets non alignés.
Le théorème de Thalès
Le théorème
Il va nous être utile pour la projetion des points de l'univers monde vers celui de l'ecran.
La projection
La projection est le processus dans lequel on ramène un ensemble de points de l'espace 3D dans l'espace 2D tout en donnant un effet de perspective.
Le principe est simple. On a une surface de dimensions ecran_w et ecran_h représentant l'écran qui est orthogonale(perpendiculaire) à l'axe Z.(voir fig. suivante)
L'image du point M est le point N, intersection entre la droite OM et la surface.
On dit que N est le projeté de M sur la surface.
Maintenant on peut déterminer les coordonnées du point N dans l'écran.
Il suffit pour cela d'appliquer le théorème de Thalès dans les plans X/Z et Y/Z.
Dans le plan Y/Z :
Avec F étant la distance entre l'observateur et l'écran, c'est une constante appelée aussi "distance focale".
Ramenons les coordonnées du point N dans celles de l'écran.
Il suffit pour cela de retrancher les coordonnées Xn et Yn aux quantités ecran_w et ecran_h.
